傅立葉轉換到底在轉換什麼?

  一陣子沒寫文章,原本週五晚上想寫一下的。一方面是因為手邊還有東西在做,二來是有點懶.... 今天想說,不行!就算瞎扯淡也好,反正就是得寫點東西~

  之前在社群中有看到一篇嘗試不用數學來說明傅立葉轉換的文章(很長....),雖然我是覺得加上數學會更好說明,不過,我也試著不要使用數學好了。我接下來想說的,其實比較帶有哲學意味,而不是什麼理論哦....  有些看法是純個人的見解,認不認同在各位囉~

前提

這裡,我先假設大家都已經接受了以下的觀念:
1. 世界上所有的訊號,都是由不同頻率的弦波所組成
2. 弦波是訊號的基本組成元素,不管它是正弦或餘弦

註:這裡的「訊號」指的是隨時間變化且可定量的東西,例如聲音、電磁波。而不是感性上「暗示」的那種訊號....例如:「她的眼神含情脈脈!這是一種暗示嗎?那個妹是不是在剛剛跟我對上眼的瞬間,就愛上我了!」為了簡單起見,我們可以把這裡的訊號,都當成「電訊號」來看待。


傅立葉轉換

學過傅立葉轉換之後,我們心中大概就知道一件事:「哦!傅立葉轉換就是要將一個時域訊號,轉換到頻域上去。不管這個訊號是以時域的方式表現(波形, waveform),還是以頻域的方式表現出來(頻譜, spectrum),指的都是同一個訊號!」

某生A:「老師!~~~~~~~  我知道了!」
我:「你知道什麼?!」
某生A:「轉換嘛!就好像食物被我吃進去,經過我身體把它"轉換"之後,變成坨屎!這意思就是,食物就是屎,屎就是食物!一樣的東西!

我:「那你吃屎嗎?」
某生A:「恩!我吃!」
我:「哇~靠!!!真的假的!」
某生A:「吃過啊!鼻屎....」

我:「喂..... 這裡講的不是那種"轉換"啦!」 (身體是一個系統,對訊號有轉移、轉變的作用)


傅立葉轉換到底轉換了什麼?

它轉換了你看待它的觀點,而訊號本身並沒有被改變。因此,傅立葉轉換,是在轉換我們對訊號的「度量觀點」。

某生A:「哦!我知道啊!時域轉成頻域嘛.... 反轉換,就是頻域轉回時域....」
某生B:「恩.... 所以到底是轉換了什麼?」

度量觀點轉換,讓我們更了解訊號的內涵

歐姆曾說過:「人的耳朵就是最好的傅立葉分析器。」 是的,這個歐姆,就是 V=IR 的那個歐姆。
註:這句話我不曉得從哪裡讀到的,剛剛上網查沒找到。還是從哪本書看來的,我也忘了。

  我認為歐姆講的實在太好了!

  聲音是一個大家討論傅立葉轉換時,很常用的例子。假設,聞男生尖叫跟女生尖叫,通常我們可以很容易判斷哪個是男聲、哪個是女聲。因為男生都叫「啊~~」,女生都叫「伊呀~」..... 喂~~不是好嘛!是因為男生的音調低,女生的音調高。更精確地說,女聲帶有的高頻成分比男生較多(也大)啦!

  假設我們用麥克風把男聲跟女聲轉成電訊號來觀察。如果我像下面丟給你兩張聲音的時域波形,然後請你說出哪一張是男聲、哪一張是女聲,你大概只能瞎猜一通:
註:波形上振幅的大小代表聲音的音量大小。(迷之音:「你是在大聲什麼啦~~」


  可是經過你的耳朵分析後,你可以很容易辨別哪個是女聲、哪個是男聲。以下是傅立葉轉換,聲音波形在頻譜上看到的結果。男聲低頻成分比較大,女聲高頻成分比男聲豐富:(男生聲音檔 / 女生聲音檔)




傅立葉分析是一種哲學

什麼哲學呢?「格物致知」嗎.... 傅立葉分析,比王陽明用眼神想格斃竹子厲害啊....(開玩笑啦~),以下來說說我的看法:

  我們雖然藉由傅立葉轉換,將觀點切換到了頻域上面去,但傅立葉分析的本質是時間的流動。用比較哲學的說法是,傅立葉分析讓我們找出一個在時間上流動的訊號,它的內涵是什麼。這裡說的內涵,同時包括了「內容」,以及該內容的「意義」。所以,傅立葉分析讓我們找出內容的意義。
註:這裡並不是說單從時域訊號,就不能得到"意義",因為意義其實是人賦予的。旨在說明,凡事不能只看一面。

  這樣的分析,在生活中很常見。我假設一個很爛的例子,例如我這中老年人代謝不佳的身體,我的體重起伏大概是這樣的:
1. 約每一個禮拜,體重都會出現一個小 peak,都發生在週末
2. 夏季的體重比冬季體重低,而且這數十年來都這樣

  • 上面第一點,經分析,因為我到周末就比較放肆,喝啤酒、吃雞排,所以體重都會稍微增加一點,到了禮拜一,把屎全拉光,體重就下降下來!哈哈~
  • 上面第二點,經分析,因為冬天一到我就準備冬眠.... 脂肪增加是自然驅動的!不能怪我!

註:數據分析並不總是在找週期性,也可能是在找某些事件跟某些變數的關係,或更有甚深者。此處的例子僅是為了要凸顯找尋「意義」這件事情而已。

你發現什麼
  • 第一點,如果你的量測不足一個禮拜,你根本不可能知道「以每個禮拜為周期」的特徵
  • 第二點,如果你的量測不足一年,你根本不可能知道「以每年為週期」的特徵

  用 E. E. 的立場來說,如果今天我拿到一段時域波形,我想要知道這段波形是否帶有頻率 1kHz 的成分存在:
  • 1 kHz 的弦波,週期為 1 ms
  • 如果你今天拿到的那段波形,時間總長度不足 1ms,你根本度量不到 1 kHz 的弦波波形(不完整)
  • 反過來說,如果已知某個隨時間流動的訊號,可能帶有 1 kHz 的頻率成分,那麼我們的觀測時間長度就至少需要 1 ms (註: 如果可以觀測 2 倍的時間長 = 2 ms 就能更加確定波形的重複性) 

傅立葉分析 - 形而上的觀點

  • 假如時間靜止了,甚麼東西都不活動,那生活的意義是否還存在?
  • 假如現在的我,不是由過去的我所造成的,那麼我是什麼?
  • 這瞬間,就在這一秒當下的我,是完整的我嗎?
  • 回顧過去的某段時期,對我的影響?
  • 如果一句話,我只聽一個字,我怎麼會知道那句話是什麼意思。
  • 數據不流動,就無法傳遞。
  • 數據經過特定的排序,就有機會找出它的內涵。排序正是一種流動。
  • 傅立葉分析就是一種自省、認識自我的過程
  • ....  歡迎補充....

傅立葉分析的應用

  • 濾波
    • 某一受干擾的訊號波形,我想濾波,把干擾拿掉。沒有傅立葉分析,多數情況你幾乎不知道應該要濾掉什麼(頻率成分),因此濾波器設計連起頭都有困難
  • 混頻
    • 將某訊號頻率成分移動到某個頻率,例如男聲經過混頻處理後,變成女聲
  • 等化器
    • 不管是多媒體還是訊號,透過等化器就能調整訊號的內容。內容就是不同頻率成分的大小、相位等等,不同頻率也可以想成色彩的紅綠藍 R, G, B 通道
    • 調整相位也就是調整訊號延遲或超前,我們可讓一段頻寬內的頻率成分都具有相同延遲(相位隨頻率的變化是線性的),我們就會說那段頻寬內的"群延遲"固定
    • 有些系統的群延遲隨頻率變化可能不固定,因此訊號經過此系統會造成失真,就可透過等化器來校正(設計某種頻率響應來補正,用濾波器也行)
  • 線性度、失真度的定量
    • 這個有機會再說,不然還要扯一堆....
  • 等等等.... 但總體來說,調整頻率成分就是等化器的功能,端視你的"應用"到底需要什麼而已... 但等化器通常比較 generic,為你的特定應用所設計的頻率成分調整器,就是濾波器(濾波器其實也是很廣義呢!)

小叮嚀

  有些人會在談「頻譜」或「頻率響應」的時候說:「這上面的波形,如何如何....」
在此提醒,波形這兩個字還是留給時域使用吧!因為在 E. E. 領域講的"波"形,通常都是指隨時間流動的東西。例如:示波器上顯示的波形....

  在談頻域時,還是用「譜」或「響應」來描述比較恰當,例如:這張譜上某某頻率的成分過大、從它的頻率響應可以看到低通的效果不好。

後記

  在 E. E. 領域打滾多年,凡事無不與"訊號"與"系統"有關,而傅立葉分析的觀念是根。每次只要遇到要處理訊號的問題時,我就發現傅立葉的靈,一直在我背後。(有鬼啊~塊陶~)

  我很喜歡傅立葉分析,我不是因為計算上的關係而喜歡它;我喜歡它是因為,多年來,不管是工作上、還是人生上,它帶給了我很多很多的啟發....。至今,它仍一直持續影響著我。
 
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10 則留言:

  1. 您解釋的真是有趣o 能否再請您解釋一下group delay, phase delay, phase shift, Equalizer 這幾個terms呢? 謝謝!

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    1. Hello Tiffany, 沒問題哦! 最近比較忙一點, 給我一點時間讓我準備準備啊~

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  2. 講的真好能請教你既然有傅利葉為何還需要轉移函數嗎

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    1. 哈囉... 傅立葉轉換是針對訊號,轉移函數是針對系統哦!

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  3. 講解精闢!
    想請問,時域轉到頻域是用sampling rate 當作 frequency space.
    那如果反過來,
    今天frequency domain用ifft轉換到time domain 該如何決定 time space?

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    1. Hello~ time space 要知道原始資料的取樣率才能決定哦!! (同樣也是取決於取樣時的 sampling rate 囉~)

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  4. 請問,轉移函數從頻域轉回時域後,再跟原本的input 做convolution 可以還原回output嗎

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    1. Hi 理論上可以喔~ 轉移函數轉回時域就變成脈衝響應了

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  5. 在化學中,怎樣的訊號才需要傅立葉轉換器

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